අනුකලනය තේරෙන සිංහලෙන්

අනුකලනය කියන්නේ මොකද්ද ?

අනුකලනය කියන සංකල්පය මුලින්ම ආවේ යම්කිසි දෙයක වර්ගඵලය සොයන්නේ කොහොමද කියන ැටලුවට පිළිතුරක් වශයෙන්. අපි දන්න තරමින් සමචතුරස්‍රයක , සෘජුකෝණාස්‍රයක, ත්‍රිකෝණයක පිරමීඩයක නැතිනම් ගොලයක  උනත් අපිට වර්ග ඵලය හොයන අපිට අමාරු නැහැ. නමුත් ගැටලුව එන්නේ හැඩය නිෂ්චිත නැති තැනකදී එහි වර්ග ඵලය සොයන්නේ කොහොමද කියල එක. මේකට විසදුමක් විදියට තමා අනුකලනය බිහි වුනේ.

අනුකලනයේදී යොදා ගන්නේ අවකලනයේදී යොදා ගත් සිද්ධාන්තයේම අනික් පැත්ත. අවකලනයේදී  යම් තැනක අනුක්‍රමණ්‍ය සෙවීමයි අපි සිදු කලේ. ඒ කියන්නේ යම්කිසි විචල්‍යයක් යම් සීමාවකට යද්දී ශ්‍රිතයට මොකද වෙන්නේ කියන අදහස. එතෙන්දී යම් විචල්‍යයක් බින්දුවට ආසන්න අගයක් කරා යන ලෙස සැලකීමෙන් තමා y/x  අනුක්‍රමණය ලබා ගත්තේ.
අනුකලයයේදී සිදුවන්නේ මේ බින්දුවට ආසන්නම යැයි යනුවෙන් ලබා ගත්ත මුලු අගයන් ප්‍රමාණය එකතු කරලා ඒ වක්‍රයේ වර්ගඵලය සෙවීම. මේ බව පැහැදිලී පහත රූප සටහන් බැලුවාම

මෙයින් එක ප්‍රස්ථාරයක් තෝරාගෙන එහි යම් ස්ථානය, යම් අවස්ථාවක අදිනු ලබන සෘජු කෝණයක දිග ∆x   වලින්ද එ් අවස්ථාවේ y අගය පෙර අවකලනයේදී ලෙසම  f(w) වලින්ද නිරූපනය කරමු. මේ අනුව අප තැනින් තැන අදින සෘජුකෝණාස්‍ර වල දිග වන ∆w  සමාන වුවද එයට සාපේක්ෂ y අගයන් නැතිනම් f(w) අගයන් වෙනස් වේ මන්ද උස වෙනස් වන බැවිනි. (එනම් ඉහත ශ්‍රිතය f(w) = w²  ආකාර විය හැක.) කෙසේ හෝ අප මෙසේ  ∆w  බින්දුවටම ආසන්න ඉතා මත් කුඩා අගයක් කරාම යන ලෙස සලකා ඒ සියලු සෘජු කෝණ වල වර්ගඵලයන් එකතු කල හොත් අපහට ලැබෙන්නේ එම වක්‍රයේ වර්ග ඵලයයි.  එනම් අපගේ
 f(w) x w  මගින් දෙනු ලබන්නේ එක් සෘජුකෝණ වල වර්ගඵලයි (උස x පලල).  මේ සියලුම සෘජුකෝණ එකතු කලොත් අපිට ලැබෙන්නේ වක්‍රයේ වර්ගභලයයි.

මෙය අපට මෙසේ පෙන්විය හැක . 

E අකුර වගේ එකෙන් ගණිතයේදී පෙන්වන්නේ යම් රටාවක සියලුම අංග එකතු කරන බව පෙන්වීම. මෙතෙන්දී ඒක ඉස්සරහායින් පෙන්වන w හා ඊට අනුරූපව වෙනස් වුනු f(w) එකිනෙක වැඩි කරහම එන සියලුම සාජුකෝණ එකතු කරන බව පෙන්වීම. 0 හා 2 කියන්නේ මුලු w දිග ප්‍රමාණය. ඒ කියන්නේ 2 ඉදන් 0 දක්වා සියලුම සෘජුකෝණ එකතු කරන බව පෙන්වීම.  නමුත් මෙතන f(w) යන විචල්‍යය නිසා මේක පෙන්වන්න අපි S අකුරක් වගේ තියෙන විශේෂ ලකුණක් පෙන්වනවා. මෙතනදී x අක්ෂය නිරූපණය කිරීඹ w වලින් සිදු කලේ වැඩිකිරීමේ ලකුණ සමග පැටලෙන නිසා. නමුත් අවසානයේ අවකලනයේදී වගේම අනුකලනයේ මූලක සමීකරණය අපිට මෙහෙම පෙන්වන්න පුලුවන්. 

    

මින් කියවෙන් f(x) හා ඊට අදාල (d) x අගයන් එකිනෙක වැඩි කරන බවයි. යම් සීමාවක් තියෙනවානම් ඉස්සෙල්ලා 0 හා 2 වගේ ,දැන් අර E අකුරේ වගේම මේ S අකුර වගේ එකේ කෙලවර දෙකෙන් පෙන්වනවා. 

මෙම වර්ගපල සෙවීම වැදගත් වන තැන් මොනවාද ? උදාහරණයක් ලෙස කිසිවකුගේ ඉඩමක් සෘජු ආකාර නොවී වක්‍රවලින් පිරී පවතින්නක් නම් එහි වර්ගඵලය මැන ගැනීමට අනුකලනයේ පිහිට පැතීමට සිදුවනු ඇත.

තවත් උදාහරණයක් ලෙස අප සතුව ඉලෙක්ට්‍රෝණ විදින තුවක්කුවතක් තිබේ යැයි සිතන්න. තත්පරයකට තුවක්කුවෙන් පිටවන ඉලෙක්ට්‍රෝණ ප්‍රමාණය නියතයක් නොවේ යැයි සැලකුවහොත් විනාඩියක කාලයක් තුල අපට මෙම ඉලෙක්ට්‍රෝණ පිටවීමට අදාල ශ්‍රිතය  හරහා විනාඩියක් තුල පිටවුනු මුලු ඉලෙක්ට්‍රෝණ ප්‍රමාණය සොයා ගැනීමට හැකියි. උදාහරණයක් ලෙස ඉලෙක්ට්‍රෝණය විමෝචනය 3x +5x -10 වැනි ශ්‍රිතයකින් දැක් වේ නම් විනාඩියක් තුල පිටවුනු ඉලෙක්ට්‍රෝණ ප්‍රමාණය අවකලනය මගින් සොයා ගත හැක.

මේ සාමාන්‍ය අනුකලනයක් පෙන්වන් ආකාරයයි එස් අකුර වැනි කොටසින් මෙය අනුකලනයක් බවත් දෙපස ඇති a හා b  මගින් අපගේ සීමාවන් දෙකද දැක්වෙනවා . ඉන්පසුව ඇති f(x) යනු අපට අනුකලනය කිරීමට අවශ්‍ය ශ්‍රිතයයි. dx මගින් පෙර අවකලනයේදී මෙන්ම xගේ ව්‍යුත්පන්න බව නිරූපනය කෙරෙනවා.

f(x) = 3x ගැටලුවට විසදුමක් හෙව්වොත් විසදුම ඉතාම සරලයි. මොකද අනුකලනය  කියන්නේ අවකලනයේ අනික් පැත්ත. පවර් රූල් එක මතක නම් ඒකේ අන්ක් පැත්ත ගත්තොත් උත්තරේ.

                                             x³  + c  

මේකේ C වලින් කියවෙන්නේ මොකද්ද ? ඒ තමයි අපි කිසියම් ශ්‍රිතයක් අවකලනය කරන කොට යම් කිසි නියතයක් තිබුනොත් එහි ව්‍යුත්පන්නය සමාන වෙන්නේ බින්දුවට. මේක නිසා යම් ශ්‍රිතයක් අනුකලනය කරන කොට අපි දන්නේ නැහැ මේ ශ්‍රිතයේ කලින් නියතයක් තිබුනද කියලා. ඒ නිසා මේ සැකය නිසා අපි සෑම විටම අනුකලයක් අවසානයේ අගට නියතයත් එකතු කරනවා. නමුත් මේකේ ප්‍රායෝගික බවක් තියෙනවා . ඒ කියන්නේ යම් මට්ටමක ඉදන් නම් යම් මිනීමක් සිදු කරන්නේ ඒ අවස්ථාව දක්වා තිබුනු යම් මට්ටමක් මේ මගින් නිරූපනය කරන්න පුලුවන්. උදාහරනයක් ලෙස ස්ප්‍රින්ග් එකක් එල්ලුවාම ඒකෙම බරට යම් ප්‍රමාණයක් ස්ප්‍රින් එක දිග ඇරෙනවා. ඊට පස්සේ අපි තවත් බරක් මේකේ එල්ලලා  ඉහල පහල චලනය වෙන්න පටන් ගන්න ඇරලා ඒ පැද්දීම කෙලවර දක්වා එම චලනය ශ්‍රතයක නිරූපනය කලොත් අර මුලින් පටන් ගත්ත ඇදිලා තිබුනු ප්‍රමාණයෙන් ඉහලට බර චලනය වෙන් නැත්නම් ඒ ප්‍රමාණය C වලින් නිරූපනය කරන්න පුලුවන්.

මේ නීතිය පවර් රූල් එකේම අනික් පැත්ත  ∫ xⁿ dx = [x⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)] + c මෙහි n = -1 විය නොහැක.

ඒ වගේම 

∫cos(x) dx  = sin(x) +c //

ඉස්සෙල්ලා ගැටලුවම මෙහෙම ලිව්වොත් මොකද්ද මේ කිය වෙන්නේ. ඔව් කිසියම් a අගයක සිට b අගය දක්වා කියන එක. නැතිනම් සීමාවන් දෙකක් කියන එක. වක්‍රයක කොටසක වර්ග ඵලය සෙවීම කියලත් මේක කියන්න පුලුවන්.






මෙතනින් ගැටලුවක් වෙන්න පුලුවන් අමාරු දෙයකට තියෙන්නේ කොටස් වශයෙන් අනුකලනය යන කොටසයි Substitution කොටසයි විතරයි . කොටස් වශයෙන් අනුකලනය කොටස මුලින් සලකමු. මේක ආවේ කොහෙන්ද ? අවකලනය කොටසේ  ව්‍යුත්පන්න සදහා ප්‍රොඩක්ට් රූල් එක මතක් කර ගන්න. (uv)' = uv' + u'v  මේක අනුකලනය කලොත් 

∫(uv)' dx = ∫uv' dx + ∫u'v dx

වම් පැත්තේ තියේනනේ අවකලන සමීකරණයයි. ' ලකුණ මතක් කර ගන්න. අනුකලනය කියන්නේ ඒ ලකුණ ඉවත් වෙනවා. 

uv = ∫uv' dx + ∫u'v dx  

පොඩ්ඩක් පැති මාරු කරලා.

∫uv' dx = uv − ∫u'v dx

∫uv dx = u∫v dx − ∫u'(∫v dx) dx

පහත ගැටලුව සලකන්න.
x sin x dx. 

මෙය කොටස් වශයෙන් අනුකලනය කරමු. මුලින්ම U සහ V අදුරා ගන්න .
U අවකලනය කරන්න - U කියන්නේ එලියේ තියෙන කොටසයි. එනම්  X අවකලනයෙන් 

X' = 1

V අනුකලනය කරන්න.- V කියන්නේ ඇතුලේ තියෙන කොටසයි.                                = sinX  අනුකලනයෙන් =  -cosX

                       =  -x (cos(x)) +∫ 1 cos(x) 

නැවත අග කොටස අවකලනයෙන්                       =  -xcos(x) + sin(x) + c // 

මෙහිදී මතක තබා ගත යුත්තක් විය යුත්තේ ∫uv dx = u∫v dx − ∫u'(∫v dx) dx සමීකරණයේ  ∫u'(∫v dx) dx කොටසේදී පැවසෙන්නේ U වල අවකලනය නැවත ඉදිරියේ ඇති අනුකලන ලකුන යටතේ අනුකලනය කල යුතු බව නොවේ. U වල අවකලනය V හි අනුකලනයෙක් ගුණ කර අවසානයේ සමස්ථ ප්‍රතිපලය අවකලනය කිරීමයි.

   ∫(x + 2) e^x  dx උදාහරණය සලකන්න 

• u = x + 2
• v = e^x

u අවකලනය u' = (x + 2)' = 1
v අනුකලනය  v: ∫v dx = ∫ e^x dx = e^x

සුලු කිරීමෙන්

(x + 2) e^x − ∫ e^xdx 
= (x + 2)e^x − e^x + c
= (x + 1)e^x + c

(මෙම උදාහරනය mathisfun වෙබ් අඩවියෙනි.)

අවකල අනුකල අන්තර්ජාලය තුලින් සිදු කර ගැනීමට http://www.integral-calculator.com/ අඩවිය භාවිතා කල හැක. අවකලනය හා අනුකලනය රන ආකාරය කුමක් වවත් මේවා සෑම විටම මේවායේ මූලිකම සිද්ධාන්තය මත රදා පවතින බව මතක තමා ගන්න. මේවා හොදින් අවබෝධ වන්නේ එම මූලික සමීකරණයේ සිට මේ කොටස් වශයෙන් අනුකලනය ආදීයේදී සිදුවන දෙව අවබෝධ කර ගැනීමෙනි.ඒවා ව්‍යුත්පන්න කිරීමට උත්සාහ ගැනීමෙනි. මෙමගින් සෑම විටම ගැටලුවක් පහසුවෙන් අදුනා ගැනීමේ හැකියාවද තේරුම් ගැනීමටද හැකිවේ. එක් ගණනක් බැගින් උදාහරන වශයෙන් දී කොතරම් ගණන් හැදුවද මූලික ප්‍රමේයේ සිට ලැබෙන අවබෝධය මද වේ . 

                        

අවකලය අනුකලනය සරලව පහසුවෙන් ඉගෙන ගැනීමට ද ගැටලු විසදීමටද  http://www.mathsisfun.com/calculus/  අඩවිය භාවිතා කරන්න. 

අවකලනය තේරෙන සිංහලෙන්

අවකලනය යනු කුමක්ද?

ඉහත දැක්වෙන්නේ විස්තාපන කාල ප්‍රස්තාරයකි . නැතිනම් නියමිත කාල ප්‍රාන්තරයක් තුල වස්තුවක් එය ගමන ආරම්භ කල ස්ථානයේ කොතරම් දුරට ගමන් කර ඇද්දැයි පෙන්වන ප්‍රස්තාරයකි.



ඕනෑම ප්‍රස්තාරය x හා y යනුවෙන් කන්ඩාංක රේකා දෙකක් පවතින බව අප දනිමු. ඕනෑම විටෙක. ත්‍රිමාණ ඛන්ඩාංක තලයක නම් Z රේඛාවතක්ද පැවතිය හැක.   සෑම විටම y එයට අදාල x අගයෙන් බෙදූවිට අපට ලැබෙන්නේ එම රේඛාවේ ඇල යයි. නැතිනම් අනුක්‍රමණයයි. මෙම් රේඛාවේ ඇල ඉර මගින් පෙන්නුම් කරන්නේ කුමක්ද? එනම් ප්‍රවේගයයි. මෙම වස්තුව නියත ප්‍රවේගයකින් ගමන් කර ඇත. වේගය සහ ප්‍රවේගය අතර වෙනස ප්‍රවේගයට දශාවක් තිබීමයි. එසේ නොමැතිව S1 මගින් පෙන්වන රේඛවා පමනක් මෙහි තිබුනේ නම් ඉන් කියවෙන්නේ වස්තුවක් කිසියම් ස්ථානයක t1 කාලයක් දක්වා නවතා තිබුනු බවයි.

ඉහත විස්තාපන කාල ප්‍රස්තාරය  ප්‍රවේග කාල ප්‍රස්තාරයකින් නිරූපනය කල විට දිස් වන්නේ පහත පරිදිය. නියමිත කාලයක් තුල නියත ප්රවේගයෙන් ගමන් කර ඇත.

නමුත් ප්‍රවේග කාල පුස්තාරයක ඇල ඉරකින් නිරූපනය වන්නේ කුමක්ද එය ත්වරණයයි. එනම් පහත පරිදිය.

මෙහි v1/t1 මගින් ලැබෙන්නේ ත්වරණයයි. 

මෙසේ චලිනතය සම්බන්ධයෙන් ගැනීමේදී ප්‍රස්ථාරයක අනුක්‍රමණයක් නැතිනම් එප ඉරත් තිබීඹ මගින් නිරූපපනය වන්නේ වස්තුවක යම්කිසි චලනයකදී එම වස්තුවේ චලනයට සිදුවුනු වෙනසයි. විස්තාපන ප්‍රස්තාරයේ අනුක්‍රමණය ප්‍රවේගයයි. එසේම ප්‍රවේග කාල ප්‍රස්ථාරයේ අනුක්‍රමණය ත්වරණයයි.  

මෙහිදී විස්තාපන කාල ප්‍රස්ථාරයක් ව්‍යුත්පන්න කල විට ඉන් ලැබෙන්නේ ප්‍රවේග කාල ප්‍රස්ථරයකැයි අපට පැවසිය හැක. ප්‍රවේග කාල ප්‍රස්ථාරයක ව්‍යුත්පන්නය (derivative) ත්වරණකාල ප්‍රස්ථාරයකි. ව්‍යුත්පන්නය වනාහී කලනයේදී සිහියේ තබා ගත යුතු වැදගත් වදනකි. 

                                          

මේ විස්තාවපන කාල ප්‍රස්ථාරය ආයෙමත් සලකන්න. අපට මෙහි ඇල ඉර නැතිනම් අනුක්‍රමණය නැතිනම් ප්‍රවේගය t අකුරට සාපේක්ෂව S හි වෙනස් වීමක් ලෙස නැතිනම් ශ්‍රිතයක් ලෙස දැක්විය හැක. 

එනම් S(t)  =  V(t)  (විස්තාපනයේ ඇලය ප්‍රවේගයයි) එලෙසම V(t) = a(t) එසේම කාලයට සාපේක්ෂව ප්‍රවේගයේ වෙනස ත්වරණයයි. එම නිසා ප්‍රස්තාරයක ඇල ඉර නැතිනම් අනුක්‍රමණය ව්‍යුත්පන්නය ලෙස හැදිනේවේ. 

නමුත් ස්වභාවධර්මයේ සිදුවන වෙනස් වීම් සිදු වෙන්නේ බොහෝ විට රේඛීයව නෙමෙයි. වක්‍රීයවයි. ඒ කියන්නේ කාර් එකකින් ගමනක් ගියත් වලාවකට වේගෙ වැඩි කරනවා වෙලාවකට අඩුකරනවා ඒ කියන්නේ ප්‍රවේගයත් අඩු වැඩි වෙනවා . සෑඹ විටම පවතින නියත ප්‍රවේගයක් වත් විස්තාපනයක් වත් නැහැ. 

            

මේ ප්‍රස්තාරේ දැක්වෙන්නේ එහෙම අවස්ථාවක් මේ ප්‍රවේග කාල ප්‍රස්තාරයෙන් නිරූපනය වන වස්තුවේ ත්වරණය ඒකාකාරී නැහැ. මේවගේ වෙලාවක මුලු ශ්‍රිතයේම අනුක්‍රමණය එකම සමීකරණයකින් නිරූපනය කරන්න බැහැ. නමුත් අපිට අවශ්‍ය වෙන්න පුලුවන් යම් t කාලයකදී  තිබුනු ත්වරණය මොකද්ද කියලා දැන ගන්න. අන්න ඒ වෙලාවේදී අප ි මුලින් කතා කලා වගේම ඒ සදහා අපිට අවශ්‍ය වෙනවා ඒ යම් ස්ථානයේ තිබුනු අනුක්‍රමණය දැන ගන්න.  මේක සරල කර ගන්න පහත ප්‍රස්තාරය සලකමු.

දැන් මේ x කියන ස්ථානයේ අනුක්‍රමණය අපිට හොයා ගන්න පුලුවන්ද ? බැහැ.මොකද ඒ ලක්ෂ්‍යයට අනුක්‍රමන රාශියක් තියෙන්න පුලුවන්  නමුත් ලක්ෂ දෙකක් තිබුනනම් පහල විදියට අපිට යම් සැලකීමක් කරන්න තිබුනා.

අපි z කියලා ලක්ෂයක් තවත් තැනතින් තිබ්බොත් x හා z ලක්ෂයත් අතර රේඛාවක් ඇන්දොත් ඒ ලක්ෂ දෙක එකිනෙකට යා කලොත් ඔන්න අපිට සෘජුරේඛාවක් හමු වෙනවා. දැන් අපි Z  ලක්ෂය ටිකෙන් ටික x අරන් එන කොට අපි ටිකෙන් ටික හරි  x ලක්ෂයේ නිවැරදි අනුකමණයට ලංවෙනවා. නමුත් අපිට හරිම උත්තරයක් ලැබෙන්න Z = x කලොත් බැහැ. ඒ නිසා අපි අනුමාන කරනවා z ආසන්න වශයෙන් x වෙතම යනවා නැත්නම් ඉතාමත් කෙටි මිනිය නොහැකි තරම් වෙනසක් දක්වා ඒ කියන්නේ ආසන්න වශයෙන් බිංදුව කරා ලංකලොත් අපිට x ලක්ෂය වන විට ප්‍රස්ථාරයේ නිවැරදි අනුක්‍රමණය ලැබෙනවා කියලා.

දැන් ඒ z xට ආසන්නම වුනු අවස්ථාවේ රේඛාව පිහිටන විදිය අපි විශාල කරලා පහල විදියට සලකමු.

මේක හොදින් බලන්න අපි  x සහ z  අක්ෂයන්ගේ  y අගයන් a සහ h අනුව x අක්ෂයේ ශ්‍රිතයන් ලෙස යොදා පෙන්වලා තියෙනවා.

a කියන්නේ x ලක්ෂයේ x අක්ෂයේ අගය නම් එහි y අගය f(a) වලින් නිරූපනය කරනවා. Z ලක්ෂයේ x අක්ෂයේ අගය a+h නම් z ලක්ෂයේ y අගය f(a+h) වලින් දනක්වනවා. ඒ කියන්නේ h දුරකදී x හා y අගවයන්ගේ සිදුවුනු වෙනස් වීම. ඇත්තටම අපේ ඉහත උදාහරණයට අනුව h කියන්නේ දැන් z x ලක්ෂයට ලගාවුනු ඒ ආසන්න මොහොත. දැන් මේ ප්‍රස්ථාරයේ අනුක්‍රමණය අපිට

f(t)  = f(a+h) – f(a) / h කියලා දක්වන්න පුලුවන් . මේක ගත්ත හැටි අමාරු වෙන්න බැහැ කාටවත්.

මේක අපිට ලියන්න පුලුවන් z  x කරා පැමිණීම 0 කරා යෑමක් ලෙස සලකලා. Lim කියන්නේ මොකද්ද සීමාව.(limit).

_h->0^lim    f(a+h) – f(a) / h

h බින්දුව කරා යන කොට අනුක්‍රමණයේ සිදුවන වෙනස් කම් අපිට දැන් මේ සමීකරණයෙන් පෙන්වන්න පුලුවන්.

කෙනෙකුට මෙහෙම අහන්න පුලුවන් h බින්දුව කරා යන කොට h = 2 වෙන කොට මොකද වෙන්නේ කියලා.

ගණිතඥයෙක් ඕකට උත්තරේ දෙන්නේ උඩ සමීකරණය භාවිතා කරලා. ඒකියන්නේ h 2 සීමාවට යනකොට ශ්‍රිතයට මොකද වෙන්නේ කියන එක

_h->2^lim    f(a+h) – f(a) / h

අපි හිතමු අපි ලග තියෙනවා  ශ්‍රිතයක් f(x)=    x²+ 5x +6 කියලා මේක අවශ්‍ය නම් ශ්‍රිතයක අදින්න් පුලුවන්.

කොහොමද කරන්නේ ? සමීකරණය a,b,c යනුවෙන් කොටස් තුනකට අපි සෑම විටම කඩනව.වැඩිවෙලා තියෙන සැබෑ ඉලක්කම් තමා මෙතනදී සැලකිල්ලට ගන්නේ.  පලවෙනියට තියෙන x  වර්ගගය වැඩි වෙලා තියෙන්නේ 1 න් දෙවෙනියට තියෙන එක 5න් තුන්වෙනියට හය. a = 1 , b = 5, c = 6 . ඇයි 6  1න් වැඩි වෙලා තියෙන විදියට ගන්නේ නැත්තේ ? .සමස්ථයක් වශයෙන් එතන පෙන්වන්නේ නියම සංඛ්‍යාවක් නිසා. ඊට පස්සේ සමමිතික අක්ෂය සොයා ගන්න සමීකරණය මොකද්ද ? x =     ඒ අනුව   =-2.5 ඒ කියන්නේ x =- 2.5  හරහා තමා සමමිතික අක්ෂය වැඩටිලා තියෙන්නේ. දැන් වගුවක්. පලවෙනි x අගය වෙන්නේ අපේ සමමිතික අක්ෂය ඒක දැම්මා සමීකරණයට ගත්තා y අගය . x²+ 5x +6  =  -2.5² +(- 2.5) x 5 +6 = 0.25 .ඊලග  y අගය හොයන ඒකට

 x = -1 කරමු.

එතකොට (0,2) ඊලගට x අගයක් හොයා ගන්න x = 1 කරමු.  උත්තරේ  y = 12

X	Y
-3	0
-2.5	0.25
-1	2
0	6
1	12
2.5	24.75
3	30

අපි දැන් අපේ සමීකරණය යොදා ගෙන මේක විසදමු. ඒ කියන්නේ _h->0^lim    f(a+h) – f(a) / h

යොදා ගෙන. කරන්න තියෙන්නේ මේ සමීකරණය අපේ ශ්‍රිතයේ සමී කරණය . x²+ 5x +6   ඇතුලට රිංගවන එක.

ඒ කියන්නේ අපි දැන් අනුකුමණය නැත්නම් ව්‍යුත්පන්නය හොයන්න යන්නේ  f’(2)  වෙනකොට.

F(2) තමා කලින් අපි f(a) වලින් දැක්වුයේ. ඒක නිසා   අපි x    දක්වමු    .a ගේ ශ්‍රිතයක් ලෙස

 F(a) = a² +5a +6

F(a+h)  =  (a+h)² +5(a+h) + 6

ව්‍යුත්පන්නය පෙන්නන්න අපිට ‘ ලකුණ පාවිච්චි කරන්න පුලුවන්.

f‘(2)   =  h->  ₀^lim    =  (a+h)² +5(a+h) + 6 –( a² +5a +6)/h

a = 2 නිසා

               =  h->  ₀^lim   h²+9h/h   

                = h->  ₀^lim         h(h+9)/h

                = h->  ₀^lim        h+9

                 h= 0  කල විට

                = 9//

එනම් h-> 0 කරා යනවිට a = 2 වන විට ශ්‍රිතයේ අනුක්‍රමණය 9 කි.  

ඉතින් මේ තමා අවකලනය. සරල උදාහරණයක් හැටියට පහත විස්තාපන කාල ප්‍රස්ථාරය සලකන්න

මේකේ ශ්‍රිතය f(x) = x³  වලින් දෙනවා

 මේ වාහනය ධාවනය වෙන්න පටන් අරගෙන ලගවෙනි තත්පර දහය තුල ගමන් කරපු දුර 100m කියලා හිතමු. අපි හිතම යම් අවස්ථාවක අපිට මේකේ ඡාරායාරූපයක් ගැනීඹ සදහා කැමරාවක් සකසන්න ඕනෑ. ඒ සදහා අපි මේක අවකලනය කරලා අනුක්‍රමණය සොයා ගත යුතු වෙනවා.

        F(a)   = _h->0^lim    f(a+h) – f(a) / h

මේක අරගෙන f(x) = x³  ඇතුලට ඔබමු.

= _h->0^lim    (x+h)(x+h)(x+h) - (x)/h

 = _h->0^lim     x³ + 3x²h + 3xh² + h³ – x³ /h

සුලු කරලා අන්තිමට h = 0 කෙරුවම

= 3x²

(අවකලනයේ පවර් රූල් එක එන විදිය මතක් වෙන්න ඕනෑ දැන් ඒ ගැන දන්න අයට.

f’(x) =  n x^(n-1))

දැන් මේ ලබා ගත්ත උත්තරෙන් කියවෙන්නේ මොකද්ද? යම් කිසි කාලයක් තුල (x අක්ෂයේ) F(x) ප්‍රමාණයක් චලනය වුනු වස්තුවේ ප්‍රවේගය එහෙමත් නැත්නම් ශ්‍රතයේ අනුත්‍රමණය එහෙමත් නැත්නම් ව්‍යුත්පන්නය මේ මගින් කිය වෙනවා. ඒ කියන්නේ අපි සරලව හිතුවොත් මේ වාහනය තත්පර දහයක් තුල මීටර් 200 ක් ගියා කියලා එහෙම උනොත් ප්‍රවේගය ඇවිල්ලා 200/10 = 20 ms^-1  . නමුත් ඒ කියන්නේ වස්තුව ඒකාකාර ප්‍රවේගයකින් ගමන් කලා කියන එක. ඒ ඇවිල්ලා සමස්ථ සාමාන්‍ය අගය. නමුත් පැහැදිලිවම මේ වස්තුවට ඒකාකාර ප්‍රවේගයක් තිබිලා නැහැ. නියම ප්‍රවේගය ලබා දෙන්නේ  3x²  සමීකරණයෙන්. තත්පර දහයකදී එයට 3x10²    = 300ms^-1 ප්‍රවේගයක් තිබිලා තියෙනවා. අවශ්‍යනම් තත්පර 20 , 30 දී උනත් ප්‍රවේගය ඒ තත්පරයටම බලන්න පුලුවන්. මේ තමා අවකලනය.

යම් කිසිවක් කෑලි වලට බෙදලා ඒ ක්ෂණය තුල සිදුවුනු වෙනස බැලීමට අපි අවකලනය භාවිතා කරනවා.

මෙතනින් පටන් ගන්න අවකලනය අපි මෙහෙම මුල ඉදන්ම සරලව විසදන්නැතුව සමීකරණ සෙට් එකක් භාවිතා කරලා පහසුවෙන් හොයනවා. ඒ කියන්නේත් මේ වගේ උදාහරණ ආදියෙන් ව්‍යුත්පන්න කර ගත්ත දේ.

මේ තමයි වූත්පන්නයක් දැක්වීමට සාමාන්‍යයෙන් යොදා ගන්න ලකුණ. මේක කියවන්නේ x ට අනුරූප y ගේ වෙනස්වීම හෙවත් අනුක්‍රමණය. නැත්නම් ව්‍යුත්පන්නය.

කියලා ගත්තොතත් මේකේ C වලින් පෙන්වන්නේ නියතයක් ඒ කියන්නේ යම් නියම සංඛ්‍යාවක්

හරියට අපි 6 කියන සංඛ්‍යාව ව්‍යුත්පන්න කලොත් අපිට ලැබෙන්නේ 0 . ඇයි ඒ ?

මේ තියෙන්නේ ප්‍රවේග කාල ප්‍රස්ථාරයක්. a1 වලින් දැක්වෙන්නේ නියතයක් . නියත ප්‍රවේගයක්. ඉතින් අනුක්‍රමණය 0යි. ඒකම  nx^n-1   වලිනුත් දක්වන්න පුලුවන්.

නැත්නම්

මේවගේ දෙයකින් කියවෙන්නේ මොකද්ද? එනම් x ට අනුරූපව y දෙවරක් ව්‍යුත්පන්න කර ඇති බවයි. මේකේ හැටියට s කියන්නේ විස්ථාපනය නම් හෝ දෙවන සමීකරණයේ පරිදි කාලයේ ශ්‍රිතය අනුව   a මගින් පෙන්නුම් කෙරෙන්නේ ත්වරණය. 

සරලම උදාහරණය  Δs/Δt   ව්‍යුත්පන්නය v නැතිනම් ප්‍රවේගය.  Δ වලින් හැම වෙලේම පෙන්වන්නේ වෙනස් වීම කියන එක.  නැවතත් Δv/Δt ලබා දෙන්නේ ත්වරණය. එනම් s දෙවරක් ව්‍යුත්පන්න කර ඇති බවයි.

වලින් එහෙමනම් මොකක් පෙන්නයිද ? ඔව් කාලයට සාපේක්ෂව ත්වරණය වෙනස් වීම.

පහල වගුවලින් මේ ආකාරයෙන් නොයෙක් අවස්ථාවල යොදා ගත හැකි අවකල සමීකරණ දැක් වෙනවා. ත්‍රිකෝණ මිතික සමීකරණ පවා දැක ගන්න පුලුවන්. අපි මුලින්ම සාකච්ඡා කරපු පවර් රූල් එක පවා ඇති බලන්න. එ් වගේම ශ්‍රිත දෙකක ගුණිතයක් තියෙන කොට ශ්‍රිත දෙකක බෙෙදීමක් තියෙන කොට කලයුත් දේ දැක ගන්නත්  පුලුවන්. හොදින් මතක තියා ගන්න මේ සියල්ලම අපි උඩ සාකච්ඡා කරපු සරල මුලධර්මය මතම පදනම් වෙලා ගොඩ නගලා තියෙන බව. මේ ඕනෑම එකක් ඒ හරහා ඔප්පු කරලා පෙන්වන්න පුලුවන්සාධාරණයි කියලා. 

tan = x/y කියල ගන්න පුලුවන්. ඒක නිසා අනුක්‍රමණයට ටැංජන් ලයින් එක කියලාත් කියනවා.

ඒ වගේම

                                                    

ඒ කියන්නේ sinϴ    වලට අනුරූපව ව්‍යුත්පන්නය = cosϴ. sinϴ = 1 උනොත් cosϴ = 0. මොකද අපි දන්නවා හැම වෙලේම ව්‍යුත්පන්නයක් වෙන්නේ අනුක්‍රමණයක් කියලා. පහල ප්‍රස්ථාරයේ sin අනුක්‍රමණය බින්දුව හරහා යන කොට cos ශ්‍රිතයේ අනුක්‍රමණයක් නැහැ.

මේ තමා අවකලනයේ පියා වන සර් අයිසෙක් නිව්ටන්ගේම f = ma සමීකරණයේ අවකලන ව්‍යුත්පන්නය. හොදින් බලන්න .මෙහි f(t) වෙනුවට x(t) යොදා ගෙන තියෙන්නේ බලය පෙන්වීමට යොදන F සමග ඇතිවන පටලැවිල්ල නවත්වා ගන්න. නැත්නම් ඕනෑම එකක් දාගත්තට කමක් නැහැ . x කියන්නේ t කාලයේ ශ්‍රිතයක් (x අක්ෂය) දෙවරක් ව්‍යුත්පන්න කරලා තියෙනවා .  ඒ කින්නේ ත්වරණය. බලය නැතිනම් f එම ශ්‍රිතයේම අනුරූපයක්

මේක f(x(t)) වෙනුවට නිකම්ම f දැම්මත් x(t) වෙනුවට නිකම්ම x දැම්මත් වෙනසක් නැහැ. ලියන විදිය විතරයි. මේක ව්‍යුත්පන්න කරන්න පුලුවන් ත්වරණය ව්‍යුත්පන්න කිරීමෙන්මයි. අපි කලින් කලා වගේ.  .

පහත රූපයෙන් අවකල ව්‍යුත්පන්න හා නීති ගැන සරලව හොද අවබෝධයක් ලබා ගන්න පුලුවන් ඒ වගේම https://www.mathsisfun.com/calculus/derivatives-rules.html යොමුවෙන් මේ නීති හා ක්‍රම යොදා ගන්න ආකාරය ඉතාමත් සරලව පැහැදිලිව පෙන්වලා දීළා තියෙනවා. 

   

මේකේ ගැටලුවක් වෙන්න පුලුවන් තැනක් තියෙන්නේ චේන් රූල් එක තේරුම් ගැනීමේදීයි. චේන් රූල් එකේ අවකල ව්‍යුත්පන්ය තේරුම් ගන්න ලේසියි චේන් රූල් එකේ පෙන්වන දේ තේරුම් ගත්තොත්.

F(g(x)) කියන එක තේරුම් ගන්න පුලුවන් ශ්‍රිතයක් තුල ශ්‍රිතයක් විදියට. උදාහරණයක් විදියට   g(x) = x³ සහ  f(x) = x+3     කියලා ගනිමු.   (g º f)(x) කියන්නේ  g(f(x)) කියන එකමයි. ඒ කියන්නේ

g(f(x)) = (x+3)³   //    

e^x   කියන්නේ මොකද්ද ?

සාමාන්‍ය x² ,   y³    වගේම උනත් මේකේ පොඩි වෙනසක් තියෙනවා පහල බලන්න.   2! ,3! කියන්නේ මොකද්ද? ! පෙන්වන්නේ ෆැක්ටෝරියල් කියන එක.  ඒ කියන්නේ

2! = 2 x 1   , 3! = 3 x 2 x 1 , 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1  කියන එක.

අවකල ව්‍යත්පන්නය ඔප්පු කිරීම . (Power Rule)